设函数 $f(x)=\sqrt{3}\sin\dfrac{\pi x}{m}$．若存在 $f(x)$ 的极值点 $x_0$ 满足 $x_0^2+f^2(x_0)<m^2$，则 $m$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$
【解析】
正弦型函数的极值点即最值点，有$$\frac{\pi x}{m}=k\pi+\frac{\pi}{2},k\in\mathbb{Z},$$解得$$x=m\left(k+\frac 12\right),k\in \mathbb{Z},$$且此时有 $f^2(x_0)=3$，于是题目转化为\[\exists k\in\mathbb{Z},m^2\left[1-\left(k+\frac 12\right)^2\right]>3.\]我们发现，这个不等式成立的一个必要条件是\[1-\left(k+\frac 12\right)^2>0,\]从而将 $k$ 的范围缩小到$$k\in\left\{0,-1\right\},$$这两个 $k$ 值都对应着 $m^2>4$，故 $m\in (-\infty,-2)\cup(2,+\infty)$．
题目
答案
解析
备注
