设函数 $f(x)=x^2-ax+a+3$，$g(x)=ax-2a$，若存在 $x_0\in\mathbb{R}$，使得 $f(x_0)<0$ 与 $g(x_0)<0$ 同时成立，则实数 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(7,+\infty)$
【解析】
首先 $f(x)<0$ 有解，所以判别式$$\Delta=a^2-4(a+3)>0,$$解得 $a<-2$ 或 $a>6$．
若 $a<-2$，则 $g(x)<0$ 的解集为 $(2,+\infty)$，而 $f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac a2<0$，$f(2)=-a+7>0$，所以 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上恒为正，不存在 $x_0$；
若 $a>6$，则 $g(x)<0$ 的解集为 $(-\infty,2)$，因为 $f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac a2>3$，要使得 $f(x)<0$ 在 $(-\infty,2)$ 上有解，需要 $f(2)<0$，解得 $a>7$．
若 $a<-2$，则 $g(x)<0$ 的解集为 $(2,+\infty)$，而 $f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac a2<0$，$f(2)=-a+7>0$，所以 $f(x)$ 在 $(2,+\infty)$ 上恒为正，不存在 $x_0$；
若 $a>6$，则 $g(x)<0$ 的解集为 $(-\infty,2)$，因为 $f(x)$ 的对称轴 $x=\dfrac a2>3$，要使得 $f(x)<0$ 在 $(-\infty,2)$ 上有解，需要 $f(2)<0$，解得 $a>7$．
题目
答案
解析
备注
