记 $y=1-x\in(0,1)$，则\[\begin{split}f(x)\cdot f(1-x)&=f(x)f(y)\\&=\left(\dfrac{a}{x}-x\right)\left(\dfrac{a}{y}-y\right)\\&=\dfrac{x^{2}y^{2}-a(x^{2}+y^{2})+a^{2}}{xy}\\&=\dfrac{(xy)^{2}-a\left[(x+y)^{2}-2xy\right]+a^{2}}{xy}.\end{split}\]令 $xy=t$，则 $t\in\left(0,\dfrac{1}{4}\right]$，令\[g(t)=f(x)\cdot f(1-x)=\dfrac{t^{2}-a(1-2t)+a^{2}}{t}\geqslant 1,\]即$$t^{2}+(2a-1)t+a^{2}-a\geqslant 0.$$情形一 若 $\dfrac{1}{2}-a\leqslant 0$，即 $\dfrac{1}{2}\leqslant a$，只需 $g(0)\geqslant 0$，即$$a^{2}-a\geqslant 0,$$解得 $a\geqslant 1$．
情形二 若 $0<\dfrac{1}{2}-a\leqslant \dfrac{1}{4}$，即 $\dfrac{1}{4}\leqslant a<\dfrac{1}{2}$，只需$$g\left(\dfrac{1}{2}-a\right)\geqslant a,$$无解．
情形三 若 $\dfrac{1}{2}-a>\dfrac{1}{4}$，即 $a<\dfrac{1}{4}$，只需 $g\left(\dfrac{1}{4}\right)\geqslant 0$，即$$\left(a-\dfrac{1}{4}\right)^{2}\geqslant \dfrac{1}{4},$$解得 $a\leqslant -\dfrac{1}{4}$．
因此实数 $a$ 的取值范围为 $\left(-\infty,-\dfrac 14\right]\cup[1,+\infty)$．