查看数据源：59082d0c060a05000bf2917d
在直角 $\triangle ABC$ 中，$C$ 为直角，$\angle BDC=2\angle BCD$，$AB=8$，$CD=3$，则 $AD\cdot BD=$  ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    三角
    >
    解三角形
    >
    正弦定理
  • 题型
    >
    三角
    >
    解三角形
  • 知识点
    >
    三角
    >
    三角恒等变换
    >
    三倍角公式
【答案】
$12$
【解析】
令 $\angle BCD=\theta$，则 $\angle BDC=2\theta$，$A=3\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 2$，$B={\mathrm \pi} -3\theta$．在 $\triangle ACD$ 和 $\triangle BCD$ 中分别应用正弦定理，可得$$\dfrac{BD}{\sin\theta}=\dfrac{CD}{\sin ({\mathrm \pi}-3\theta)},\dfrac{AD}{\cos\theta}=\dfrac{CD}{\sin\left(3\theta-\dfrac{\mathrm \pi} 2\right)},$$于是$$BD=\dfrac{3}{3-4\sin^2\theta},AD=\dfrac{3}{3-4\cos^2\theta},$$进而可得$$\dfrac{3}{AD}+\dfrac{3}{BD}=2,$$结合 $AD+BD=8$，可得 $AD\cdot BD=12$．
题目 答案 解析 备注
0.178196s