查看数据源：59125dade020e7000878f6c2
如图，在平面直角坐标系 $xOy$ 中，$O$ 为正八边形 $A_1A_2\cdots A_8$ 的中心，$A_1(1,0)$．任取不同的两点 $A_i,A_j$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}=\overrightarrow{0} $，则点 $P$ 落在第一象限的概率是 ．
【难度】
【出处】
2016年高考上海卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
    >
    古典概型
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    随机事件的概率
  • 知识点
    >
    计数与概率
    >
    排列数与组合数
【答案】
$\dfrac{5}{28} $
【解析】
任取不同的两点 $A_i,A_j$ 的情况有 ${\rm{C}}_8^2=28 $ 种，其中能使得点 $P$ 落在第一象限的情况，也即使得 $\overrightarrow{OA_i}+\overrightarrow{OA_j}$ 在第三象限的情况．易知 $i,j$ 只能在 $4,5,6,7,8$ 中选，包括如下 $5$ 种：$$(A_4,A_7),(A_5,A_6),(A_5,A_7),(A_5,A_8),(A_6,A_7),$$所以点 $P$ 落在第一象限的概率是 $\dfrac{5}{28} $．
题目 答案 解析 备注
0.161723s