问题即函数 $f(x)=-ax^3+(a-3)x$ 在区间 $[-1,1]$ 上的最小值为 $-3$．函数 $f(x)$ 的导函数为$$f'(x)=-3ax^2+(a-3).$$注意到 $f(1)=-3$，于是 $f'(1)\leqslant 0$，可得 $a\geqslant -\dfrac 32$．
情形一 $-\dfrac 32\leqslant a\leqslant 3$．
此时恒有 $f'(x)\leqslant 0$，函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上单调递减，符合题意．
情形二 $a>3$．
此时函数 $f(x)$ 在区间 $[-1,1]$ 上有极小值点 $x=-\sqrt{\dfrac{a-3}{3a}}$，于是根据题意，有$$f\left(-\sqrt{\dfrac{a-3}{3a}}\right)\geqslant -3,$$即$$-\dfrac{2(a-3)}3\cdot\sqrt{\dfrac{a-3}{3a}}\geqslant -3,$$整理得 $(a-12)(4a^2+12a+9)\leqslant 0$，解得 $a\leqslant 12$．
综上所述，$a$ 的取值范围是 $\left[-\dfrac 32,12\right]$．