已知 $P,Q$ 分别是圆 $x^2+(y-3)^2=1$ 与抛物线 $y=x^2$ 上的点，则 $|PQ|$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
2009年上海交通大学自主招生保送生测试数学试题
【标注】
【答案】
$\dfrac{\sqrt {11}}2-1$
【解析】
只需要计算圆心 $(0,3)$ 到抛物线 $y=x^2$ 上的点的最小距离．设 $y=x^2$ 上一点为 $(x,x^2)$，则\[\begin{split}d^2(x)&=x^2+(x^2-3)^2\\&=x^4-5x^2+9\\&=\left(x^2-\dfrac 52\right)^2+\dfrac{11}{4},\end{split}\]所以 $d(x)$ 的最小值为 $\dfrac{\sqrt{11}}2$，因此 $\dfrac{\sqrt {11}}{2}-1$ 为所求．
题目
答案
解析
备注
