已知函数 $f(x)=\left(1-x^2\right)\left(x^2+ax+b\right)$ 关于 $x=-2$ 对称，则 $f(x)$ 的最大值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$16$
【解析】
根据题意，函数 $f(x+2)$ 必然为偶函数，于是\begin{eqnarray*}\begin{aligned} f(x+2)&=\left[-4x-\left(x^2+3\right)\right]\cdot \left[-4x+\left(x^2+3\right)\right]\\
&=16x^2-\left(x^2+3\right)^2\\
&=-x^4+10x^2-9\\
&\leqslant 16,\end{aligned}\end{eqnarray*}等号当 $x^2=5$ 时取得．因此所求的 $f(x)$ 的最大值，即 $f(x+2)$ 的最大值，为 $16$．事实上，根据对称性我们可以得到$$f(x)=(1-x^2)\cdot [(-4-x)^2-1].$$
&=16x^2-\left(x^2+3\right)^2\\
&=-x^4+10x^2-9\\
&\leqslant 16,\end{aligned}\end{eqnarray*}等号当 $x^2=5$ 时取得．因此所求的 $f(x)$ 的最大值，即 $f(x+2)$ 的最大值，为 $16$．事实上，根据对称性我们可以得到$$f(x)=(1-x^2)\cdot [(-4-x)^2-1].$$
题目
答案
解析
备注
