若函数 $f(x)=x^4+2x^3+4x^2+cx$ 的图象关于直线 $x=m$ 对称，则 $f(x)$ 的最小值是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$-\dfrac{11}{16}$
【解析】
考虑 $f(x)$ 的一阶导数与二阶导数：\begin{eqnarray*}f'(x)=4x^3+6x^2+8x+c,f''(x)=12x^2+12x+8,\end{eqnarray*}所以 $x=m$ 就是 $f''(x)$ 的对称轴 $x=-\dfrac 12$，即 $m=-\dfrac 12$．
从而有 $f(0)=0=f(-1)=1-2+4-c$，解得 $c=3$．于是$$f'(x)=4x^3+6x^2+8x+3=(2x+1)(2x^2+4x+3)$$有唯一零点 $x=-\dfrac 12$，所以 $f(x)$ 的最小值只能在 $x=-\dfrac 12$ 处取到，有$$f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 1{16}-\dfrac 14+1-\dfrac 32=-\dfrac {11}{16}.$$
从而有 $f(0)=0=f(-1)=1-2+4-c$，解得 $c=3$．于是$$f'(x)=4x^3+6x^2+8x+3=(2x+1)(2x^2+4x+3)$$有唯一零点 $x=-\dfrac 12$，所以 $f(x)$ 的最小值只能在 $x=-\dfrac 12$ 处取到，有$$f\left(-\dfrac 12\right)=\dfrac 1{16}-\dfrac 14+1-\dfrac 32=-\dfrac {11}{16}.$$
题目
答案
解析
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