1．已知 $i$ 是虚数单位，则 $\displaystyle \sum^{2020}_{k=1}(k-i^k)=$ \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
解：设 $S=i+2i^2+3i^3+\ldots +2019i^{2019}+2020i^{2020}$，则
$iS=i^2+2i^3+3i^4+\ldots +2019i^{2020}+2020i^{2021}$ 两式相减，得
$S-iS=i+i^2+i^3+\ldots +i^{2020}=2020i^{2021}=\frac{i(1-i^{2020})}{1-i}-2020i^{2021}=-2021i$
故 $S=-\frac{2020i}{1-i}=1010-1010i$，即 $\displaystyle \sum^{2020}_{k=1}(k\cdot i^k)=1010-1010i$．
$iS=i^2+2i^3+3i^4+\ldots +2019i^{2020}+2020i^{2021}$ 两式相减，得
$S-iS=i+i^2+i^3+\ldots +i^{2020}=2020i^{2021}=\frac{i(1-i^{2020})}{1-i}-2020i^{2021}=-2021i$
故 $S=-\frac{2020i}{1-i}=1010-1010i$，即 $\displaystyle \sum^{2020}_{k=1}(k\cdot i^k)=1010-1010i$．
题目
答案
解析
备注
