设 $a > 0$ 且 $a \ne 1$，则方程 ${a^x} + 1 = - {x^2} + 2x + 2a$ 的解的个数为 ．
【难度】
【出处】
2007年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
【答案】
$2$
【解析】
设\[\varphi(x)=a^x+(x-1)^2-2a,\]则\[\lim_{x\to -\infty}\varphi(x)=+\infty,\varphi(1)=-a<0,\lim_{x\to +\infty}\varphi(x)=+\infty,\]于是函数 $\varphi(x)$ 至少有两个零点．
又$$\varphi'(x)=a^x\ln a+2(x-1),\varphi''(x)=(\ln a)^2a^x+2>0,$$于是 $\varphi'(x)$ 至多只有一个零点，进而 $\varphi(x)$ 至多有两个零点．
综上所述，函数 $\varphi(x)$ 的零点个数为 $2$．
又$$\varphi'(x)=a^x\ln a+2(x-1),\varphi''(x)=(\ln a)^2a^x+2>0,$$于是 $\varphi'(x)$ 至多只有一个零点，进而 $\varphi(x)$ 至多有两个零点．
综上所述，函数 $\varphi(x)$ 的零点个数为 $2$．
题目
答案
解析
备注
