解：由已知，可设 $A(-1,0), B(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}), C(\cos \theta ,\sin \theta)$（$0\leqslant \theta \leqslant 2\pi$），则$$\begin{aligned}
\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}&=\left(\frac{3}{2}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cdot (\cos\theta+1\cdot \sin\theta)=\frac{3}{2}\cos\theta+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta +\frac{3}{2}\\
&=\sqrt{3}\sin(\theta+\frac{\pi}{3})+\frac{3}{2}\leqslant \sqrt{3}+\frac{3}{2}.
\end{aligned}$$所以，$\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}$ 的最大值为 $\sqrt{3}+\frac{3}{2}$．