如图，在 $\mathrm{Rt}\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=6$，$BC=4$，$\odot O$ 的半径为 $2$，$P$ 为圆上一动点，连接 $PA,PB$，则 $PA+\dfrac 12PB$ 的最小值为 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\sqrt{37}$
【解析】
如图，连接 $PC$，则 $PC=\dfrac 12 BC$．
在 $BC$ 上取点 $D$，使得 $DC=\dfrac 12 PC=1$．
连接 $PD$，易证 $\triangle PCD\backsim \triangle BCP$，所以 $PD=\dfrac 12 PB$．
连接 $AD$，则 $AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{37}$．
所以 $PA+\dfrac 12 PB$ 的最小值为 $\sqrt{37}$．
在 $BC$ 上取点 $D$，使得 $DC=\dfrac 12 PC=1$．
连接 $PD$，易证 $\triangle PCD\backsim \triangle BCP$，所以 $PD=\dfrac 12 PB$．
连接 $AD$，则 $AD=\sqrt{AC^2+DC^2}=\sqrt{37}$．
所以 $PA+\dfrac 12 PB$ 的最小值为 $\sqrt{37}$．
题目
答案
解析
备注
