如图，$\triangle ABC$ 的三条中线分别为 $AD,BE,CF$，若 $\triangle ABC$ 的面积为 $1$，则以 $AD,BE,CF$ 的长度为三边长的三角形的面积等于 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac 34$
【解析】
如图，过点 $C$ 作 $CP\parallel AD$，且 $CP=AD$，连接 $AP,PF,EP,FE$．
由辅助线作法，可得四边形 $ADCP$ 为平行四边形，
所以 $AP=CD$，$AP\parallel CD$．
由 $D,E,F$ 为 $\triangle ABC$ 三边中点，可得 $AP=EF$，$AP\parallel EF$．
所以四边形 $AFEP$ 为平行四边形，则 $PE=AF=FB$，$PE\parallel FB$．
所以四边形 $PEBF$ 为平行四边形，则 $BE=FP$．
因而 $\triangle FPC$ 为以 $AD,BE,CF$ 的长度为三边长的三角形．
所以 $S_{\triangle FPC}=S_{\triangle FEC}+S_{\triangle FEP}+S_{\triangle CEP}=\dfrac34S_{\triangle ABC}=\dfrac34$．
由辅助线作法，可得四边形 $ADCP$ 为平行四边形，所以 $AP=CD$，$AP\parallel CD$．
由 $D,E,F$ 为 $\triangle ABC$ 三边中点，可得 $AP=EF$，$AP\parallel EF$．
所以四边形 $AFEP$ 为平行四边形，则 $PE=AF=FB$，$PE\parallel FB$．
所以四边形 $PEBF$ 为平行四边形，则 $BE=FP$．
因而 $\triangle FPC$ 为以 $AD,BE,CF$ 的长度为三边长的三角形．
所以 $S_{\triangle FPC}=S_{\triangle FEC}+S_{\triangle FEP}+S_{\triangle CEP}=\dfrac34S_{\triangle ABC}=\dfrac34$．
题目
答案
解析
备注
