已知复数 $z_1,z_2$ 满足 $|{z_1}| = 2$，$|{z_2}| = 3$，$|{z_1} + {z_2}| = 4$，则 $\dfrac{{{z_1}}}{{{z_2}}} = $ ．
【难度】
【出处】
2003年复旦大学保送生招生测试
【标注】
【答案】
$ \dfrac{1}{6} \pm \dfrac{{\sqrt {15} }}{6}{\rm{i}}$
【解析】
设复数 $z_1,z_2,z_1+z_2$ 在复平面内的对应点分别为 $A,B,C$，则四边形 $OACB$ 构成平行四边形．复数 $\dfrac{z_1}{z_2}$ 的模为 $\dfrac 23$，接下来求它的辐角．
在 $\triangle OAC$ 中应用余弦定理，有$$\cos A=\dfrac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot 2\cdot 3}=-\dfrac 14,$$于是 $\cos\angle AOB=\dfrac 14$，进而可得$$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac 23\left(\dfrac 14\pm \dfrac{\sqrt{15}}4{\rm i}\right)=\dfrac 16\pm \dfrac{\sqrt{15}}6{\rm i}.$$
在 $\triangle OAC$ 中应用余弦定理，有$$\cos A=\dfrac{2^2+3^2-4^2}{2\cdot 2\cdot 3}=-\dfrac 14,$$于是 $\cos\angle AOB=\dfrac 14$，进而可得$$\dfrac{z_1}{z_2}=\dfrac 23\left(\dfrac 14\pm \dfrac{\sqrt{15}}4{\rm i}\right)=\dfrac 16\pm \dfrac{\sqrt{15}}6{\rm i}.$$
题目
答案
解析
备注
