由于 $\big|z^3+3z+2{\mathrm i}\big|=\big|(z{\mathrm i})^3-3(z{\mathrm i})+2\big|$，因此问题等价于已知 $|z|=1$，求 $\big|z^3-3z+2\big|$ 的最大值．根据题意，有\[\begin{split}\left|z^3-3z+2\right|&=|z+2|\cdot |z-1|^2\\
&=\sqrt{\left(5+4\cdot{\rm Re}z\right)\cdot \left(2-2\cdot {\rm Re}z\right)\cdot \left(2-2\cdot {\rm Re}z\right)}\\
&\leqslant \sqrt{27}=3\sqrt 3,\end{split}\]等号当 ${\rm Re}z=-\dfrac 12$ 时取得．因此所求的最大值为 $3\sqrt 3$．