已知在 $\triangle ABC$ 中，$D$ 为边 $AC$ 上一点，且 $AB=AD=4$，$AC=6$，若 $\triangle ABC$ 的外心在线段 $BD$ 上，则 $BC=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$ 2\sqrt{10} $
【解析】
作 $\triangle ABC$ 的外接圆与直径 $BDE$，连接 $CE$．
设 $A=2\theta$，则 $BD=8\sin\theta$，进而 $CE=DE=\dfrac{1}{\sin\theta}$，从而在 ${\rm Rt}\triangle BCE$ 中，有$$\cos 2\theta=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{\dfrac{1}{\sin\theta}}{8\sin\theta+\dfrac{1}{\sin\theta}},$$即$$4\cos^2 2\theta-5\cos 2\theta+1=0,$$解得 $\cos 2\theta=\dfrac 14$，进而在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理可得$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos 2\theta}=2\sqrt{10}.$$
设 $A=2\theta$，则 $BD=8\sin\theta$，进而 $CE=DE=\dfrac{1}{\sin\theta}$，从而在 ${\rm Rt}\triangle BCE$ 中，有$$\cos 2\theta=\dfrac{CE}{BE}=\dfrac{\dfrac{1}{\sin\theta}}{8\sin\theta+\dfrac{1}{\sin\theta}},$$即$$4\cos^2 2\theta-5\cos 2\theta+1=0,$$解得 $\cos 2\theta=\dfrac 14$，进而在 $\triangle ABC$ 中应用余弦定理可得$$BC=\sqrt{AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot\cos 2\theta}=2\sqrt{10}.$$
题目
答案
解析
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