如图，$\triangle ABC$ 中，$\angle ACB=90^\circ$，$AC=BC$，点 $P$ 为 $AB$ 的中点．若点 $E$ 满足 $AE=\dfrac 13 AC$，$CE=CA$，点 $Q$ 为 $AE$ 的中点，则线段 $PQ$ 与 $AC$ 的数量关系是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$PQ=\dfrac{\sqrt{70}\pm\sqrt 2}{12}AC$
【解析】
如图，点 $E$ 有两种情况，连接 $CQ$，将 $\triangle PAQ$ 绕点 $P$ 逆时针旋转 $90^\circ$ 得到 $\triangle PCD$，则 $Q,C,D$ 三点共线．令 $AC=a$，则 $AQ=\dfrac 16a$，$CQ=\dfrac{\sqrt{35}}6a$．
① 如图1，$QD=CQ+CD=\dfrac{\sqrt{35}+1}6a$，从而 $PQ=\dfrac {\sqrt2}2QD=\dfrac{\sqrt{70}+\sqrt 2}{12}a$；
② 如图2，$QD=CQ-CD=\dfrac{\sqrt{35}-1}6a$，从而 $PQ=\dfrac {\sqrt2}2QD=\dfrac{\sqrt{70}-\sqrt 2}{12}a$．
① 如图1，$QD=CQ+CD=\dfrac{\sqrt{35}+1}6a$，从而 $PQ=\dfrac {\sqrt2}2QD=\dfrac{\sqrt{70}+\sqrt 2}{12}a$；
② 如图2，$QD=CQ-CD=\dfrac{\sqrt{35}-1}6a$，从而 $PQ=\dfrac {\sqrt2}2QD=\dfrac{\sqrt{70}-\sqrt 2}{12}a$．
题目
答案
解析
备注
