数列 $\{a_n\}$ 满足 $a_1=a$，$a_{n+1}=2+a_1a_2\cdots a_n$（$n\in\mathbb N^*$）．若使该数列从某项起严格单调递减，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(-2,-1)\cup (-1,0)$
【解析】
根据题意，对任意 $n\geqslant 2$，$n\in\mathbb N^*$，有$$\begin{cases} a_1a_2\cdots a_{n-1}a_n=a_{n+1}-2,\\ a_1a_2\cdots a_{n-1}=a_n-2,\end{cases}$$于是$$a_{n+1}=a_n^2-2a_n+2,n\geqslant 2,$$而 $a_2=2+a$．考虑迭代函数 $f(x)=x^2-2x+2$，如图．
于是只有当 $a_2\in (0,1)\cup (1,2)$ 时，$\{a_n\}$ 从某项起为单调递减数列．进而可得 $a$ 的取值范围是 $(-2,-1)\cup (-1,0)$．
于是只有当 $a_2\in (0,1)\cup (1,2)$ 时，$\{a_n\}$ 从某项起为单调递减数列．进而可得 $a$ 的取值范围是 $(-2,-1)\cup (-1,0)$．
题目
答案
解析
备注
