过双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$（$a>0,b>0$）的一个焦点 $F$ 作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于 $A,B$ 两点，若 $|AB|=2a$，双曲线的离心率为 $e$，则 $\left[e^2\right]=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$3$
【解析】
设 $\angle AFO =\theta$，则由双曲线的焦半径公式II，有$$|AF|=\dfrac{b^2}{a+c\cdot\cos\theta}=\dfrac{b^2}{2a},$$因此$$\sin\theta=\dfrac{a}{|AF|}=\dfrac{b}{c},$$从而 $b^3=2a^2c$，不妨设 $a=1$，$c=e$，$b=\sqrt{e^2-1}$，则$$\left(e^2-1\right)^3=4e^2.$$如图，可得 $3<e^2<4$，于是 $\left[e^2\right]=3$．
题目
答案
解析
备注
