查看数据源：590c3267857b42000aca3856
如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T\left(1,0\right)$，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A$，$B$（$B$ 在 $A$ 的上方），且 ${\left|{AB}\right|}=2$．圆 $C$ 的标准方程为 ；过点 $A$ 任作一条直线与圆 $O:x^2+y^2=1$ 相交于 $M$，$N$ 两点，下列三个结论：
① $\dfrac{ \left|NA \right|}{ \left|NB \right|}=\dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}$；② $\dfrac{ \left|NB \right|}{ \left|NA \right|}-\dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}=2$；③ $\dfrac{ \left|NB \right|}{ \left|NA \right|}+\dfrac{ \left|MA \right|}{ \left|MB \right|}=2\sqrt 2$．
其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    平面几何
    >
    相似三角形
  • 知识点
    >
    解析几何
    >
    圆
    >
    圆的定义
    >
    阿波罗尼斯圆
【答案】
$(x-1)^2+(y-\sqrt 2)^2=2$；①②③
【解析】
第一空由于圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于 $(1,0)$，于是弦 $AB$ 与圆心的距离为 $1$，进而可得圆的半径为 $\sqrt 2$，于是圆 $C$ 的方程为$$(x-1)^2+\left(y-\sqrt 2\right)^2=2.$$第二空不难求得点 $A\left(0,\sqrt 2-1\right)$，点 $B\left(0,\sqrt 2+1\right)$，如图．由切割线定理，有$$|OT|^2=|OA|\cdot |OB|,$$而 $|OT|=|OM|=|ON|$，因此$$|OM|^2=|OA|\cdot|OB|,|ON|^2=|OA|\cdot|OB|,$$从而 $\triangle OMA$ 与 $\triangle OBM$ 相似，$\triangle ONA$ 与 $\triangle OBN$ 相似，因此$$\dfrac{|MA|}{|MB|}=\dfrac{|OM|}{|OB|}=\sqrt 2-1,\dfrac{|NA|}{|NB|}=\dfrac{|ON|}{|OB|}=\sqrt 2-1,$$进而可推知命题 ①②③ 均正确．
题目 答案 解析 备注
0.137892s