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设函数 $f\left( x \right) = \dfrac{{|x|}}{x}$，则 $S = 1 + 2f\left( x \right) + 3{f^2}\left( x \right) + \cdots + n \cdot {f^{n - 1}}\left( x \right) = $  ．
【难度】
【出处】
2007年上海交通大学冬令营选拔测试
【标注】
  • 知识点
    >
    数列
    >
    等差数列及其性质
    >
    等差数列的前n项和
【答案】
$\begin{cases}
\dfrac{{n\left( {n + 1} \right)}}{2} , x > 0 \\
\dfrac{2n+1-(-1)^n}{4}, x < 0 , \\
\end{cases}$
【解析】
情形一当 $x > 0$ 时，$$S = 1 + 2 + 3 + \cdots + n = \dfrac{{n\left({n + 1} \right)}}{2};$$情形二当 $x < 0$ 时，若 $n$ 为奇数，则$$S = 1 - 2 + 3 - 4 + \cdots + n = \left({ - 1} \right)\cdot \dfrac{{n - 1}}{2} + n = \dfrac{{n + 1}}{2};$$若 $n$ 为偶数，则 $S = (-1)\cdot\dfrac n2=-\dfrac n2$，可以对奇偶合并书写．
题目 答案 解析 备注
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