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若对于定义在 $\mathbb R$ 上的函数 $f\left(x\right)$，其图象是连续不断的，且存在常数 $\lambda\left(\lambda\in\mathbb R\right)$ 使得 $f\left(x+\lambda\right)+\lambda f\left(x\right)=0$ 对任意实数 $x$ 都成立，则称 $f\left(x\right)$ 是一个“$\lambda$ ―伴随函数”．有下列关于“$\lambda$ ― 伴随函数”的结论：
① $f\left(x\right)=0$ 是常数函数中唯一一个“$\lambda$ ―伴随函数”；
② $f\left(x\right)=x$ 不是“$\lambda$ ―伴随函数”；
③ $f\left(x\right)=x^2$ 是一个“$\lambda$ ―伴随函数”；
④“$\dfrac 1 2 $ ―伴随函数”至少有一个零点．
其中不正确的序号是  （填上所有不正确的结论序号）．
【难度】
【出处】
无
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    函数的图象与性质
    >
    函数的类周期性
【答案】
①③
【解析】
① 包含两层意思：$f\left(x\right)=0$ 是“$\lambda$ －伴随函数”，且 $f\left(x\right)=C$，$C\neq 0$，不是“$\lambda$ －伴随函数”．
显然 $f\left(x\right)=0$ 是“$\lambda$ －伴随函数”；
对于 $f(x)=C$，$f\left(x+\lambda\right)+\lambda f\left(x\right)=(1+\lambda)C$，于是存在 $\lambda=-1$ 使得 $f\left(x+\lambda\right)+\lambda f\left(x\right)=0$ 恒成立，因此 $f\left(x\right)=C$，$C\neq 0$ 是“$\lambda$ －伴随函数”．
② $f(x)=x$ 时，$f\left(x+\lambda\right)+\lambda f\left(x\right)=x+\lambda+\lambda x=(1+\lambda)x+\lambda$ 不可能恒为 $0$，于是 $f(x)$ 不是“$\lambda$ －伴随函数”；
③ $f(x)=x^2$ 时，$f\left(x+\lambda\right)+\lambda f\left(x\right)=(x+\lambda)^2+\lambda x^2=(1+\lambda)x^2+2\lambda x+\lambda ^2$ 不可能恒为 $0$，于是 $f(x)$ 不是“$\lambda$ －伴随函数”；
④ $f(x)$ 是“$\dfrac 12$ －伴随函数”意味着 $f\left(x+\dfrac 12\right)+\dfrac 12f(x)=0$ 对任意实数 $x$ 都成立，于是 $f\left(x+\dfrac 12\right)$ 与 $f(x)$ 或者均为零，或者异号，无论何种情形，在区间 $\left[x,x+\dfrac 12\right]$ 上必有零点．
题目 答案 解析 备注
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