设整数 $n\geqslant4$，$P(a,b)$ 是平面直角坐标系 $xOy$ 中的点，其中 $a,b\in\{1,2,3,\cdots,n\},a>b$．
$(1)$ 记 $A_n$ 为满足 $a-b=3$ 的点 $P$ 的个数，则 $A_n=$ ；
$(2)$ 记 $ B_n $ 为满足 $ \dfrac13(a-b)$ 是整数的点 $ P $ 的个数，则 $ B_n=$ ．
$(1)$ 记 $A_n$ 为满足 $a-b=3$ 的点 $P$ 的个数，则 $A_n=$
$(2)$ 记 $ B_n $ 为满足 $ \dfrac13(a-b)$ 是整数的点 $ P $ 的个数，则 $ B_n=$
【难度】
【出处】
2011年高考江苏卷
【标注】
【答案】
$(1)$ $n-3$；$(2)$ $B_n=\begin{cases}\dfrac{n(n-3)}{6},&3 \mid n(n-1),\\ \dfrac{(n-1)(n-2)}{6},&3\nmid n(n-1).\end{cases}$
【解析】
$(1)$ 当 $a-b=3$ 时，$b=a-3$，点 $P$ 的纵坐标 $b$ 的取值范围为 $[1,n-3]$，于是点 $P$ 为$$(4,1),(5,2),\cdots,(n,n-3),$$共 $n-3$ 个．
$(2)$ 继续 $(1)$ 的思考，当 $a-b=6$ 时，点 $P$ 的纵坐标 $b$ 的取值范围为 $[1,n-6]$，对应 $n-6$ 个点；
一般地，当 $a-b=3k$ 时，点 $P$ 的纵坐标 $b$ 的取值范围为 $[1,n-3k]$，对应 $n-3k$ 个点；
而 $k$ 需满足 $n-3k\geqslant1$，也即$$k\leqslant\dfrac{n-1}{3}.$$情形一 当 $n=3k+1$ 时，$$\begin{split}B_n&=(n-3)+(n-6)+\cdots+1\\ &=\dfrac{n-2}{2}\cdot k\\ &=\dfrac{(n-1)(n-2)}{6}.\end{split}$$情形二 当 $n=3k+2$ 时，$$\begin{split}B_n&=(n-3)+(n-6)+\cdots+2\\ &=\dfrac{n-1}{2}\cdot k\\ &=\dfrac{(n-1)(n-2)}{6}.\end{split}$$情形三 当 $n=3k+3$ 时，$$\begin{split}B_n&=(n-3)+(n-6)+\cdots+3\\ &=\dfrac{n}{2}\cdot k\\ &=\dfrac{n(n-3)}{6}.\end{split}$$综上，$B_n=\begin{cases}\dfrac{n(n-3)}{6},&3 \mid n(n-1),\\ \dfrac{(n-1)(n-2)}{6},&3\nmid n(n-1).\end{cases}$．
$(2)$ 继续 $(1)$ 的思考，当 $a-b=6$ 时，点 $P$ 的纵坐标 $b$ 的取值范围为 $[1,n-6]$，对应 $n-6$ 个点；
一般地，当 $a-b=3k$ 时，点 $P$ 的纵坐标 $b$ 的取值范围为 $[1,n-3k]$，对应 $n-3k$ 个点；
而 $k$ 需满足 $n-3k\geqslant1$，也即$$k\leqslant\dfrac{n-1}{3}.$$
题目
答案
解析
备注
