对于 $n\in\mathbb N^*$，将 $n$ 表示为 $n=a_k\times2^k+a_{k-1}\times2^{k-1}+\cdots+a_i\times2^i+\cdots+a_0\times2^0$，当 $i=k$ 时，$a_i=0$，当 $0\leqslant i\leqslant k-1$ 时，$a_i$ 为 $0$ 或 $1$．定义 $b_n$ 如下：在 $n$ 的上述表示中，当 $a_0,a_1,a_2,\cdots,a_k$ 中等于 $1$ 的个数为奇数时，$b_n=1$；否则 $b_n=0$．
$(1)$ $b_2+b_4+b_6+b_8=$ ；
$(2)$ 记 $ c_m $ 为数列 $ \{b_n\} $ 中第 $ m $ 个为 $ 0 $ 的项与第 $ m+1 $ 个为 $ 0 $ 的项之间的项数，则 $ c_m$ 的最大值是 ．
$(1)$ $b_2+b_4+b_6+b_8=$
$(2)$ 记 $ c_m $ 为数列 $ \{b_n\} $ 中第 $ m $ 个为 $ 0 $ 的项与第 $ m+1 $ 个为 $ 0 $ 的项之间的项数，则 $ c_m$ 的最大值是
【难度】
【出处】
2012年高考湖南卷（文）
【标注】
【答案】
$(1)$ $3$；$(2)$ $2$
【解析】
阅读信息后可知 $\overline{a_ka_{k-1}\cdots a_0}$ 是 $n$ 的二进制表示，即$$1=1,2=10,3=11,4=100,5=101,6=110,7=111,8=1000,9=1001,\cdots,$$于是 $b_n:1,1,0,1,0,0,1,1,0,0$，因此
$(1)$ $b_2+b_4+b_6+b_8=1+1+0+1=3$；
$(2)$ $c_m$ 的最大值即相邻两个 $0$ 之间的 $1$ 的个数的最大值，也即最多有多少个连续的 $1$．
接下来研究如何才能产生连续的 $1$，我们发现以 $0$ 结尾的数再加 $1$，其对应的项必然会发生变化，即：
若 $b_k=1,b_{k+1}=1$，即增加 $1$ 后二进制表示中 $1$ 的个数的奇偶性没有变化，这就说明 $k$ 的二进制表示一定是以 $1$ 结尾的，因此 $k+1$ 的二进制表示一定以 $0$ 结尾，于是 $b_{k+2}=0$．
因此至多只可能有 $2$ 个连续的 $1$．
容易发现 $\{b_n\}$ 中存在 $2$ 个连续的 $1$，因此 $c_m$ 的最大值为 $2$．
$(1)$ $b_2+b_4+b_6+b_8=1+1+0+1=3$；
$(2)$ $c_m$ 的最大值即相邻两个 $0$ 之间的 $1$ 的个数的最大值，也即最多有多少个连续的 $1$．
接下来研究如何才能产生连续的 $1$，我们发现以 $0$ 结尾的数再加 $1$，其对应的项必然会发生变化，即：
若 $b_k=1,b_{k+1}=1$，即增加 $1$ 后二进制表示中 $1$ 的个数的奇偶性没有变化，这就说明 $k$ 的二进制表示一定是以 $1$ 结尾的，因此 $k+1$ 的二进制表示一定以 $0$ 结尾，于是 $b_{k+2}=0$．
因此至多只可能有 $2$ 个连续的 $1$．
容易发现 $\{b_n\}$ 中存在 $2$ 个连续的 $1$，因此 $c_m$ 的最大值为 $2$．
题目
答案
解析
备注
