用 $\alpha,\beta,\gamma$ 三个字母组成一个长度为 $n+1(n\in\mathbb N^*)$ 个字母的字符串，要求由 $\alpha$ 开始，相邻两个字母不同．例如 $n=1$ 时，排出的字符串可能是 $\alpha\beta$ 或 $\alpha\gamma$；$n=2$ 时排出的字符串可能是 $\alpha\beta\alpha,\alpha\beta\gamma,\alpha\gamma\alpha,\alpha\gamma\beta$（如图）．若记这种 $n+1$ 个字符串中，排在最后一个的字母仍是 $\alpha$ 的所有字符串的种数为 $a_n$，可知 $a_1=0,a_2=2$；则 $a_4=$ ；数列 $\{a_n\}$ 的前 $2n$ 项之和 $a_1+a_2+\cdots+a_{2n}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$(1)$ $6$；$(2)$ $\dfrac23(4^n-1)$
【解析】
由 $n=2$ 的情形求 $n=3$ 的情形，进而依托 $n=3$ 的情形求 $a_4$；
对于以 $\alpha$ 开头长度为 $5$ 的字符串，
若第四位为 $\alpha$，则排在最后一个的字母不可能是 $\alpha$；
若第四位为 $\beta$ 或 $\gamma$，则均只有一种可以使得排在最后一个的字母仍是 $\alpha$．
因此 $a_4=6$．
可以将对 $a_4$ 的求解过程递推到一般情形，即$$a_{n+1}=2^n-a_n,$$也即$$a_n+a_{n+1}=2^n,$$于是\[\begin{split}a_1+a_2+\cdots+a_{2n}&=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\cdots+(a_{2n-1}+a_{2n})\\&=2^1+2^3+\cdots+2^{2n-1}\\&=\dfrac23(4^n-1).\end{split}\]
对于以 $\alpha$ 开头长度为 $5$ 的字符串，
若第四位为 $\alpha$，则排在最后一个的字母不可能是 $\alpha$；
若第四位为 $\beta$ 或 $\gamma$，则均只有一种可以使得排在最后一个的字母仍是 $\alpha$．
因此 $a_4=6$．
可以将对 $a_4$ 的求解过程递推到一般情形，即$$a_{n+1}=2^n-a_n,$$也即$$a_n+a_{n+1}=2^n,$$于是\[\begin{split}a_1+a_2+\cdots+a_{2n}&=(a_1+a_2)+(a_3+a_4)+\cdots+(a_{2n-1}+a_{2n})\\&=2^1+2^3+\cdots+2^{2n-1}\\&=\dfrac23(4^n-1).\end{split}\]
题目
答案
解析
备注
