设 $F$ 为双曲线 $\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1$ 的左焦点，在 $x$ 轴上 $F$ 点的右侧有一点 $A$，以 $FA$ 为直径的圆与双曲线左、右两支在 $x$ 轴上方的交点分别为 $M,N$，则 $\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=$ ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\dfrac ac$
【解析】
如图．
设 $A(m,0)$（$m>-c$），由圆的直径式方程可得以 $FA$ 为直径的圆的方程为$$(x+c)(x-m)+y^2=0.$$设 $M,N$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，则由焦半径公式，有$$|FM|=-\dfrac cax_1-a,|FN|=\dfrac cax_2+a,$$于是$$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{\dfrac ca\left(x_1+x_2\right)+2a}{m+c}.$$联立圆的方程与双曲线方程，有$$\dfrac{c^2}{a^2}x^2+(c-m)x-cm-b^2=0,$$于是$$x_1+x_2=\dfrac{a^2(m-c)}{c^2},$$代入上式，可得$$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{\dfrac ca\cdot \dfrac{a^2(m-c)}{c^2}+2a}{m+c}=\dfrac ac.$$
设 $A(m,0)$（$m>-c$），由圆的直径式方程可得以 $FA$ 为直径的圆的方程为$$(x+c)(x-m)+y^2=0.$$设 $M,N$ 的横坐标分别为 $x_1,x_2$，则由焦半径公式，有$$|FM|=-\dfrac cax_1-a,|FN|=\dfrac cax_2+a,$$于是$$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{\dfrac ca\left(x_1+x_2\right)+2a}{m+c}.$$联立圆的方程与双曲线方程，有$$\dfrac{c^2}{a^2}x^2+(c-m)x-cm-b^2=0,$$于是$$x_1+x_2=\dfrac{a^2(m-c)}{c^2},$$代入上式，可得$$\dfrac{|FN|-|FM|}{|FA|}=\dfrac{\dfrac ca\cdot \dfrac{a^2(m-c)}{c^2}+2a}{m+c}=\dfrac ac.$$
题目
答案
解析
备注
