解法一原方程可化为 $2(2017-x)+m\sqrt{2017-x}-14=0$．
令 $\sqrt{2017-x}=t$，显然当 $t$ 为非负整数时，$x$ 为整数．
方程变为 $2t^2+mt-14=0$，此时 $\Delta=m^2+112$．
令 $m^2+112=n^2$，其中 $n$ 为正整数，
所以 $(n-m)(n+m)=112$．
显然 $n-m,n+m$ 同奇同偶，且 $n-m<n+m$，
所以 $\begin{cases}n-m=2,\\n+m=56\end{cases}$ 或 $\begin{cases}n-m=4,\\n+m=28\end{cases}$ 或 $\begin{cases}n-m=8,\\n+m=14.\end{cases}$
解得 $\begin{cases}m=27,\\n=29\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=12,\\n=16\end{cases}$ 或 $\begin{cases}m=3,\\n=11.\end{cases}$
检验，当 $m=12$ 或 $m=3$ 时，方程 $2t^2+mt-14=0$ 存在整数根．
则此时原方程也存在整数根．
所以正整数 $m$ 的所有值的和为 $12+3=15$．
解法二原方程可化为 $m=\dfrac{-2(2017-x)+14}{\sqrt{2017-x}}$．
令 $\sqrt{2017-x}=t$，显然当 $t$ 为非负整数时，$x$ 为整数．
方程变为 $m=\dfrac{-2t^2+14}{t}=-2t+\dfrac{14}t$．
当 $t=1$ 时，$m=12$；当 $t=2$ 时，$m=3$．
所以正整数 $m$ 的所有值的和为 $12+3=15$．