已知函数 $f(x)=-x^2-2x$，$g(x)=\begin{cases} x+\dfrac 1{4x},&x>0,\\ x+1,&x\leqslant 0.\end{cases}$ 若方程 $g(f(x))-a=0$ 有 $4$ 个实数解，则 $a$ 的取值范围是 ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
$\left[1,\dfrac 54\right)$
【解析】
函数 $y=g(f(x))$ 可以看成为函数 $y=\begin{cases} t+\dfrac 1{4t},&t>0,\\ t+1,&t\leqslant 0,\end{cases}$ 与函数 $t=-x^2-2x$ 复合而成．第一个函数的讨论分界点为 $t=0,\dfrac 12$；第二个函数的讨论分界点为 $x=-1$．因此总体的讨论分界点为$$x=-2,\dfrac {-2-\sqrt 2}2,-1,\dfrac{-2+\sqrt 2}2,0.$$根据讨论的分界点，不难得到复合函数在每段上的单调性，再结合分界点处的函数值与渐近线可得复合函数的草图如下：
由图可得所求 $a$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac 54\right)$．
由图可得所求 $a$ 的取值范围是 $\left[1,\dfrac 54\right)$．
题目
答案
解析
备注
