凸五边形 $ABCDE$ 的对角线 $CE$ 分别与对角线 $BD$ 和 $AD$ 交于点 $F$ 和 $G$，已知 $BF:FD=5:4, AG:GD=1:1, CF:FG:GE=2:2:3$，$S_{\triangle CFD}$ 和 $S_{\triangle ABE}$ 分别为 $\triangle CFD$ 和 $\triangle ABE$ 的面积，则 $S_{\triangle CFD}:S_{\triangle ABE}$ 的值等于 \((\qquad)\) 
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
A
【解析】
由menelaus定理，
$HGD$ 截 $\triangle EBF, \frac{EH}{HB}\cdot \frac{BD}{DF}\cdot \frac{FG}{GE}=1\Rightarrow \frac{EH}{HB}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{2}{3}$．
$EGF$ 截 $\triangle BDH$，$\frac{DG}{GH}\cdot \frac{HE}{EB}\cdot \frac{BF}{FD}=1 \Rightarrow \frac{DG}{GH}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}=2$
设 $S_{\triangle CFD}=x$，则
$\begin{aligned}
&S_{\triangle GED}=\frac{3}{2}x\Rightarrow S_{\triangle AEH}=\frac{3}{4}x\\
&\Rightarrow S_{\triangle ABE}=\frac{15}{8}x\\
\end{aligned}$
即 $S_{\triangle CFD}:S_{\triangle ABE}=8:15$．
$HGD$ 截 $\triangle EBF, \frac{EH}{HB}\cdot \frac{BD}{DF}\cdot \frac{FG}{GE}=1\Rightarrow \frac{EH}{HB}=\frac{4}{9}\cdot \frac{3}{2}=\frac{2}{3}$．
$EGF$ 截 $\triangle BDH$，$\frac{DG}{GH}\cdot \frac{HE}{EB}\cdot \frac{BF}{FD}=1 \Rightarrow \frac{DG}{GH}=\frac{5}{2}\cdot \frac{4}{5}=2$
设 $S_{\triangle CFD}=x$，则
$\begin{aligned}
&S_{\triangle GED}=\frac{3}{2}x\Rightarrow S_{\triangle AEH}=\frac{3}{4}x\\
&\Rightarrow S_{\triangle ABE}=\frac{15}{8}x\\
\end{aligned}$
即 $S_{\triangle CFD}:S_{\triangle ABE}=8:15$．
题目
答案
解析
备注
