设 $p,q$ 均不超过 $100$ 的正整数，则有有理根的多项式 $f(x)=x^5+px+q$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
首先证明，有理根均为整数根：
设有理根为 $x_0=\frac{n}{m}$（$m\in \mathbb{N^{\ast}}, n\in \mathbb{Z}, (m,n)=1$），则有 $\left(\frac{n}{m}\right)^5+p\frac{n}{m}+q=0$．
去分母得 $n^5+pnm^4+qm^5=0$，故 $m~|~n^5$，得 $m=1$，即 $x_0=m$．
由 $-q=pm+m^5\in [-100,0]$，得 $m=-1$ 或 $-2$．
若 $m=-1$，则有 $q=p+1$，$p$ 可取 $1,2,\ldots ,99$，共 $99$ 种．
若 $m=-2$，则有 $q=2p+32$，$p$ 可取 $1,2,\ldots ,34$，共 $34$ 种；
总计 $133$ 种．
设有理根为 $x_0=\frac{n}{m}$（$m\in \mathbb{N^{\ast}}, n\in \mathbb{Z}, (m,n)=1$），则有 $\left(\frac{n}{m}\right)^5+p\frac{n}{m}+q=0$．
去分母得 $n^5+pnm^4+qm^5=0$，故 $m~|~n^5$，得 $m=1$，即 $x_0=m$．
由 $-q=pm+m^5\in [-100,0]$，得 $m=-1$ 或 $-2$．
若 $m=-1$，则有 $q=p+1$，$p$ 可取 $1,2,\ldots ,99$，共 $99$ 种．
若 $m=-2$，则有 $q=2p+32$，$p$ 可取 $1,2,\ldots ,34$，共 $34$ 种；
总计 $133$ 种．
题目
答案
解析
备注
