满足对任意 $n\geqslant 1$ 有 $a_{n+1}=2^n-3a_n$ 且严格递增的数列 $\{a_n\}$ 的个数为 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
设数列首项为 $a$，易得 $a_n=\left( a-\frac{2}{5}\right)(-3)^{n-1}+\frac{1}{5}\cdot 2^n, a_n<a_{n+1} \Leftrightarrow 4\left(a-\frac{2}{5}\right)(-3)^{n-1}<\frac{1}{5}\cdot 2^n$
当 $n$ 为奇数，$4\left(a-\frac{2}{5}\right)<\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$（单调递减）恒成立，故 $a\leqslant \frac{2}{5}$；
当 $n$ 为偶数，$4\left(a-\frac{2}{5}\right)>\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$（单调递增）恒成立，故 $a\geqslant \frac{2}{5}$．
综上，$a=\frac{2}{5}$，首项唯一，故数列唯一．
当 $n$ 为奇数，$4\left(a-\frac{2}{5}\right)<\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$（单调递减）恒成立，故 $a\leqslant \frac{2}{5}$；
当 $n$ 为偶数，$4\left(a-\frac{2}{5}\right)>\frac{1}{5}\left(\frac{2}{3}\right)^{n-1}$（单调递增）恒成立，故 $a\geqslant \frac{2}{5}$．
综上，$a=\frac{2}{5}$，首项唯一，故数列唯一．
题目
答案
解析
备注
