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若 $x^2+y^2\leqslant 1$，则 $x^2+xy-y^2$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}\right]$
B: $[-1,1]$
C: $\left[-\frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}\right]$
D: $[-2,2]$
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
令$$x=r\cos\alpha, y=r\sin\alpha, 0\leqslant r \leqslant 1$$则$$x^2+xy-y^2=r^2\left(\cos2\alpha+\frac{1}{2}\sin2\alpha\right)=\frac{\sqrt{5}}{2}r\sin(2\alpha+\phi)\in \left(-\frac{\sqrt{5}}{2},\frac{\sqrt{5}}{2}\right)$$
题目 答案 解析 备注
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