已知 $\triangle ABC$ 的三条边长均为整数，且面积为有理数，则 $|AB|$ 的值可能是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
CD
【解析】
对于 $A$，若一边长为 $1$，则三边必为 $1, a, a$，由海伦公式$$S=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{2a+1}{2}\cdot \frac{2a-1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}}=\frac{1}{8}\sqrt{(2a-1)(2a+1)}$$因为 $(2a-1)(2a+1)\equiv -1\pmod 4$，非平方数，所以上式不能是有理数，$A$ 错误；
对于 $B$，若一边长是 $2$，则三边长必为 $2, a, a$ 或 $2, a, a+1$，由海伦公式$$S=\frac{1}{2}\sqrt{a(a+1)}\text{或}S=\frac{1}{8}\sqrt{3(2a+3)(2a-1)}$$因为 $a(a+1)\in (a^2, (a+1)^2),3(2a+3)(2a-1)\equiv -1\pmod 4 $，所以上面两式均不能是有理数，$ B $ 错误；
对于 $ C $，三边长为 $ 3,4,5 $ 显然满足要求；
对于 $ D $，三边长为 $ 20,99,101$ 为直角三角形，满足要求．
对于 $B$，若一边长是 $2$，则三边长必为 $2, a, a$ 或 $2, a, a+1$，由海伦公式$$S=\frac{1}{2}\sqrt{a(a+1)}\text{或}S=\frac{1}{8}\sqrt{3(2a+3)(2a-1)}$$因为 $a(a+1)\in (a^2, (a+1)^2),3(2a+3)(2a-1)\equiv -1\pmod 4 $，所以上面两式均不能是有理数，$ B $ 错误；
对于 $ C $，三边长为 $ 3,4,5 $ 显然满足要求；
对于 $ D $，三边长为 $ 20,99,101$ 为直角三角形，满足要求．
题目
答案
解析
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