已知 $P$ 为双曲线 $\frac{x^2}{4}-y^2=1$ 上一点（非顶点），$A(-2,0), B(2,0)$，令 $\angle PAB=\alpha, \angle PBA=\beta,\triangle PAB $ 的面积为 $ S$，则下列表达式为定值的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
AC
【解析】
设 $P(x_0,y_0)$，由对称性不妨设 $P$ 在第一象限，则$$\tan\alpha\tan\beta=\frac{y_0}{x_0+2}\cdot \frac{-y_0}{x_0-2}=\frac{1-\frac{x_0^2}{4}}{x_0^2-4}=-\frac{1}{4}$$为定值，所以 $A$ 正确，也即$$\frac{2\tan\frac{\alpha}{2}}{1-\tan^2\frac{\alpha}{2}}\cdot \frac{2\tan\frac{\beta}{2}}{1-\tan^2\frac{\beta}{2}}$$为定值，那么 $\tan\frac{\alpha}{2}\tan\frac{\beta}{2}$ 不可能为定值，否则 $\tan\frac{\alpha}{2}+\tan\frac{\beta}{2}$ 也为定值，这样 $\tan\frac{\alpha}{2}, \tan\frac{\beta}{2}$ 均为定值，不符．
又因为$$S=2y_0, \tan(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}\left(\frac{y_0}{x_0+2}+\frac{-y_0}{x_0-2}\right)=-\frac{1}{y_0}$$所以$$S\tan(\alpha+\beta)=-2, S\cot(\alpha+\beta)=-2y_0^2$$前者为定值，后者不是，故 $C$ 正确，$D$ 错误．
又因为$$S=2y_0, \tan(\alpha+\beta)=\frac{4}{5}\left(\frac{y_0}{x_0+2}+\frac{-y_0}{x_0-2}\right)=-\frac{1}{y_0}$$所以$$S\tan(\alpha+\beta)=-2, S\cot(\alpha+\beta)=-2y_0^2$$前者为定值，后者不是，故 $C$ 正确，$D$ 错误．
题目
答案
解析
备注
