令 $\arctan\frac{2}{k^2}=\theta$，则 $\tan\theta=\frac{2}{k^2}=\frac{(k+1)-(k-1)}{1+(k+1)(k-1)}=\tan(\alpha-\beta)$
其中 $\tan\alpha =k+1, \tan\beta=(k-1)$，所以 $\arctan\frac{2}{k^2}=\arctan(k+1)-\arctan(k-1)$
所以 $\displaystyle \sum^n_{k=1}\arctan\frac{2}{k^2}=\arctan(n+1)+\arctan n-\arctan 1$
因为 $\lim_{x\to +\infty}(\arctan n)=\frac{\pi}{2}$，所以 $\displaystyle \lim_{n\to +\infty}\left(\sum^n_{k=1}\right)\frac{2}{k^2}=\frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}$．