$396=2^2\times 3^2\times 11$
所以 $A+B+C+D+E$ 是 $9$ 的倍数，且 $A-B+C-D+E$ 是 $E$ 是 $11$ 的倍数；
所以 $A+B+C+D+E=18$ 或 $27$，$A-B+C-D+E=-11$ 或 $0$ 或 $11$ 或 $22$，两式相加减，结合奇偶性，正负性，符合题意得有以下两种：
$\left\{\begin{aligned}&A+C+E=9\\ &B+D=9\\ \end{aligned}\right.$ 或 $\left\{\begin{aligned}&A+C+E=19\\ &B+D=8\\ \end{aligned}\right.$
而 $E$ 必须是偶数，故符合要求的 $\{A, C, E\}\cup \{B, D\}$ 共有以下 $24$ 组：
$\{1,2,6\}\cup\{0,9\}, \{1,2,6\}\cup\{4,5\},\{2,3,4\}\cup\{0,9\}, \{2,3,4\}\cup\{1,8\}$，
$\{0,3,6\}\cup\{4,5\}, \{0,3,6\}\cup\{1,8\}, \{0,3,6\}\cup\{2,7\}, \{0,4,5\}\cup\{1,8\}$，
$\{0,4,5\}\cup\{2,7\}, \{0,4,5\}\cup\{3,6\}, \{0,1,8\}\cup\{2,7\}, \{0,1,8\}\cup\{3,6\}$，
$\{0,1,8\}\cup\{4,5\}, \{0,2,7\}\cup\{1,8\}, \{0,2,7\}\cup\{3,6\}, \{0,2,7\}\cup\{4,5\}$，
$\{2,8,9\}\cup\{1,7\}, \{2,8,9\}\cup\{3,5\}, \{4,6,9\}\cup\{3,5\}, \{4,6,9\}\cup\{0,8\}$，
$\{4,6,9\}\cup\{1,7\}, \{4,7,8\}\cup\{2,6\}, \{4,7,8\}\cup\{3,5\}, \{5,6,8\}\cup\{1,7\}$
其中 $\{4,7,8\}\cup \{3,5\}$ 这一组没有 $4$ 的倍数，$\{4,7,8\}\cup \{2,6\}$ 这一组有 $8$ 种，其余均有 $4$ 种，总计 $96$ 种，所以 $P=\frac{96}{A^5_{10}}=\frac{96}{30240}=\frac{1}{315}$．