随机变量 $X(=1,2,3,\ldots), Y(=0,1,2)$，满足 $P(X=k)=\frac{1}{2^k}$ 且 $Y\equiv X\pmod 3$，则 $E(Y)=$ \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
B
【解析】
$\displaystyle P(Y=1)=\sum^{\infty}_{k=0}P(X=3k+1)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{3k+1}}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{4}{7}$
$\displaystyle P(Y=2)=\sum^{\infty}_{k=0}P(X=3k+2)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{3k+2}}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{2}{7}$
所以 $E(Y)=\frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}=\frac{8}{7}$．
$\displaystyle P(Y=2)=\sum^{\infty}_{k=0}P(X=3k+2)=\sum^{\infty}_{k=0}\frac{1}{2^{3k+2}}=\frac{\frac{1}{4}}{1-\frac{1}{8}}=\frac{2}{7}$
所以 $E(Y)=\frac{4}{7}+2\times \frac{2}{7}=\frac{8}{7}$．
题目
答案
解析
备注
