已知向量 $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}, \overrightarrow{c}$ 满足 $|\overrightarrow{a}|\leqslant 1, |\overrightarrow{b}|\leqslant 1, |\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|$，则下列说法正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
C
【解析】
$\overrightarrow{c}$ 可以是零向量，此时 $\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$（这是 $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ 必要条件 }），故 $ C $ 正确；
而$$ |\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|\geqslant |\overrightarrow{c}|-|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|,$$所以$$ |\overrightarrow{c}|\leqslant |\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|\leqslant \sqrt{2\left(|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2\right)}=\sqrt{4\overrightarrow{a}^2+16\overrightarrow{b}^2}\leqslant 2\sqrt{5} $$当 $ \overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow{b}=(0,1),\overrightarrow{c}=(-2,-4)$ 时可取" $ =$ "．
而$$ |\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}|=|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|\geqslant |\overrightarrow{c}|-|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|,$$所以$$ |\overrightarrow{c}|\leqslant |\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}|\leqslant \sqrt{2\left(|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2+|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|^2\right)}=\sqrt{4\overrightarrow{a}^2+16\overrightarrow{b}^2}\leqslant 2\sqrt{5} $$当 $ \overrightarrow{a}=(1,0),\overrightarrow{b}=(0,1),\overrightarrow{c}=(-2,-4)$ 时可取" $ =$ "．
题目
答案
解析
备注
