若存在 $x,y\in \mathbb{N^{\ast}}$，使得 $x^2+ky, y^2+kx$ 均完全平方数，则正整数 $k$ 可能是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
CD
【解析】
当 $x=y=4$ 时，$X^2+5y=y^2+5x=36 $，故 $ C $ 正确；
当 $ x=y=2 $ 时候，$ x^2+6y=y^2+6x=16 $，故 $ D $ 正确；
对于 $ k=2 $，不妨设 $ y\leqslant x $，则 $ x^2<x^2+2y\leqslant x^2+2x<(x+1)^2 $，则 $ x^2+2y $ 不可能为平方数；
对于 $ k=4 $，不妨设 $ y\leqslant x $，则 $ x^2<x^2+4y\leqslant
x^2+4x<(x+2)^2 $
所以 $ x^2+4y=(x+1)^2 $，即 $ 4y=2x+1$，偶=奇，矛盾!
当 $ x=y=2 $ 时候，$ x^2+6y=y^2+6x=16 $，故 $ D $ 正确；
对于 $ k=2 $，不妨设 $ y\leqslant x $，则 $ x^2<x^2+2y\leqslant x^2+2x<(x+1)^2 $，则 $ x^2+2y $ 不可能为平方数；
对于 $ k=4 $，不妨设 $ y\leqslant x $，则 $ x^2<x^2+4y\leqslant
x^2+4x<(x+2)^2 $
所以 $ x^2+4y=(x+1)^2 $，即 $ 4y=2x+1$，偶=奇，矛盾!
题目
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解析
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