我们称数列 $\{a_n\}$ 为好数列，若对于任意 $n\in \mathbb{N^{\ast}}$，存在 $m\in \mathbb{N^{\ast}}$，使得 $\displaystyle a_m=\sum^n_{i=1}a_i$，则下列说法正确的是 \((\qquad)\)
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
ABD
【解析】
对于数列 $a_n=\left\{\begin{aligned}&1,n=1\\ &2^{n-2}, n\geqslant 2\\ \end{aligned}\right. , a_1+a_2+\ldots +a_n=a_{n+1}$，即存在 $m=n+1$，故 $A$ 正确；
对于数列 $a_n=kn$（$k$ 为常数），$a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{kn(n+1)}{2}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$（$k=0$ 也符合），即存在 $m=\frac{n(n+1)}{2}$（显然是正整数），故 $B$ 正确；
考虑数列 $a_n=\ln \sqrt{n}<\sqrt{n}, a_1+a_2+\ldots +a_n=\ln\sqrt{n!}=a_{n!}$，即存在 $m=n!$，故 $C$ 正确；
设等差数列 $a_n=kn+b$，取 $b_n=(k-b)n, c_n=b(n+1)$，由 $B$ 知 $b_n$ 是好数列；又 $c_1+c_2+\ldots +c_n=b\frac{(n+3)n}{2}=c_{\frac{(n+3)n}{2}-1}$，即存在 $m=\frac{n(n+3)}{2}-1$（显然是正整数），所以 $\{c_n\}$ 也是好数列，故 $D$ 正确．
对于数列 $a_n=kn$（$k$ 为常数），$a_1+a_2+\ldots+a_n=\frac{kn(n+1)}{2}=a_{\frac{n(n+1)}{2}}$（$k=0$ 也符合），即存在 $m=\frac{n(n+1)}{2}$（显然是正整数），故 $B$ 正确；
考虑数列 $a_n=\ln \sqrt{n}<\sqrt{n}, a_1+a_2+\ldots +a_n=\ln\sqrt{n!}=a_{n!}$，即存在 $m=n!$，故 $C$ 正确；
设等差数列 $a_n=kn+b$，取 $b_n=(k-b)n, c_n=b(n+1)$，由 $B$ 知 $b_n$ 是好数列；又 $c_1+c_2+\ldots +c_n=b\frac{(n+3)n}{2}=c_{\frac{(n+3)n}{2}-1}$，即存在 $m=\frac{n(n+3)}{2}-1$（显然是正整数），所以 $\{c_n\}$ 也是好数列，故 $D$ 正确．
题目
答案
解析
备注
