设椭圆 $C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$ 的左，右焦点分别为 $F_1, F_2$，其焦距为 $2c$，点 $N(\frac{3c}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 在椭圆的内部，点 $M$ 是椭圆 $C$ 上的动点，且$$|MF_1|+|MN|<2\sqrt{3}|F_1F_2|$$恒成立，则椭圆 $C$ 的离心率的取值范围是 \((\qquad)\) ．
【难度】
【出处】
无
【标注】
【答案】
D
【解析】
由 $N(\frac{3c}{2}, \frac{\sqrt{2}c}{2})$ 在椭圆的内部，得 $\frac{9c^2}{4a^2}+\frac{c^2}{2b^2}<1$．即 $9b^2c^2+2a^2c^2<4a^2b^2$，从而$$4a^4-15a^2c^2+9c^4>0.$$得到 $9e^4-15e^2+4>0$，因此$$(3e^2-1)(3e^2-4)>0.$$因为 $0<e<1$，所以 $3e^2-4<0$．故 $3e^2<1$，得到 $ 0<e<\frac{\sqrt{3}}{3} $．
又由 $ |MF_1|+|MN|<2\sqrt{3}|F_1F_2| $ 恒成立，即$$ 2a+|MN|-|MF_2|<4\sqrt{3}c $$恒成立等价于$$(2a+|MN|-|MF_2|)_{max}<4\sqrt{3}c,$$亦即 $ 2a+|NF_2|<4\sqrt{3}c $ 等价于$$ 2a+\sqrt{(\frac{3c}{2}-c)^2+\frac{c^2}{2}}<4\sqrt{3}c,$$即 $ 2a<\frac{7\sqrt{3}c}{2} $，得到 $ e>\frac{4\sqrt{3}}{21} $．
综上，得 $ \frac{4\sqrt{3}}{21}<e<\frac{\sqrt{3}}{3}$．
又由 $ |MF_1|+|MN|<2\sqrt{3}|F_1F_2| $ 恒成立，即$$ 2a+|MN|-|MF_2|<4\sqrt{3}c $$恒成立等价于$$(2a+|MN|-|MF_2|)_{max}<4\sqrt{3}c,$$亦即 $ 2a+|NF_2|<4\sqrt{3}c $ 等价于$$ 2a+\sqrt{(\frac{3c}{2}-c)^2+\frac{c^2}{2}}<4\sqrt{3}c,$$即 $ 2a<\frac{7\sqrt{3}c}{2} $，得到 $ e>\frac{4\sqrt{3}}{21} $．
综上，得 $ \frac{4\sqrt{3}}{21}<e<\frac{\sqrt{3}}{3}$．
题目
答案
解析
备注
