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函数 $f\left( x \right)$ 图象为折线 $ABC$，已知 $A\left( { - 3, 0} \right)$，$B\left( { - 2 , 2} \right)$，$C\left( {0 ,3} \right)$，则 $f\left( x \right)$ 的反函数是 \((\qquad)\)
A: ${f^{ - 1}}\left( x \right) =\begin{cases}
2x - 3,&0 \leqslant x \leqslant 2,\\
\dfrac{1}{2}\left( {x - 3} \right), &2 < x \leqslant 3,\end{cases}$
B: ${f^{ - 1}}(x) =\begin{cases} \dfrac{x}{2} - 3 ,& 0 \leqslant x \leqslant 2, \\
2\left( {x - 3} \right), &2 < x \leqslant 3.\end{cases}$
C: ${f^{ - 1}}\left( x \right) =\begin{cases}
2x + 6, &0 \leqslant x \leqslant 2,\\
- \dfrac{1}{2}x + 3 , &2 < x \leqslant 3. \end{cases}$
D: ${f^{ - 1}}\left( x \right) =\begin{cases}
\dfrac{x}{2} + 1 , &0 \leqslant x \leqslant 2,\\
2\left( {x - 1} \right) ,&2 < x \leqslant 3. \end{cases}$
【难度】
【出处】
2009年中国科学技术大学自主招生保送生测试
【标注】
  • 知识点
    >
    函数
    >
    反函数
【答案】
B
【解析】
线段 $AB$ 的方程为 $y=2(x+3),-3\leqslant x\leqslant -2$，线段 $BC$ 的方程为 $y=\frac{1}{2}x+3,-2<x\leqslant 0$．由于反函数将点 $(x,y)$ 映射到点 $(y,x)$，交换解析式中的 $x$ 和 $y$，分别得到 $y=\frac{1}{2}x-3,0\leqslant x\leqslant 2$ 和 $y=2(x-3),2<x\leqslant 3$，这里定义域即原解析式的值域。即 $B$ 选项。
题目 答案 解析 备注
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