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若函数 $f\left( x \right){ = }{x^2} + ax + \dfrac{1}{x}$ 在 $\left( {\dfrac{1}{2}, + \infty } \right)$ 是增函数，则 $a$ 的取值范围是 \((\qquad)\)
A: $\left[ { - 1,0} \right]$
B: $\left[ { - 1, + \infty } \right)$
C: $\left[ {0,3} \right]$
D: $\left[ {3, + \infty } \right)$
【难度】
【出处】
2013年高考大纲卷（理）
【标注】
  • 知识点
    >
    微积分初步
    >
    利用导数研究函数的性质
    >
    利用导数研究函数的单调性
【答案】
D
【解析】
函数 $f\left(x\right)$ 单增等价于导函数 $f'\left(x\right)\geqslant0$．对函数 $f\left(x\right)$ 求导数，可得\[f'\left(x\right)=2x+a-\dfrac 1{x^2}.\]因为 $f\left(x\right)$ 在 $\left( {\dfrac{1}{2}, + \infty } \right)$ 是增函数，所以 $f'\left(x\right)\geqslant 0$ 在 $\left( {\dfrac{1}{2}, + \infty } \right)$ 上恒成立．即\[a\geqslant \dfrac 1{x^2}-2x\]在 $\left( {\dfrac{1}{2}, + \infty } \right)$ 上恒成立．
而函数 $g\left(x\right)=\dfrac 1{x^2}-2x$ 在 $\left( {\dfrac{1}{2}, + \infty } \right)$ 是减函数，所以\[g\left(x\right)<g\left(\dfrac 12\right)=3.\]于是可得\[a\geqslant 3.\]
题目 答案 解析 备注
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