已知集合 $A=\{x\mid x^2+2x-8 >0\}$，$B=\{x\mid x^2-2ax+4\leqslant 0\}$．若 $a>0$，且 $A\cap B$ 中恰有 $1$ 个整数，则 $a$ 的取值范围为 ．
【难度】
【出处】
2014年全国高中数学联赛福建省预赛
【标注】
【答案】
$\left[\dfrac {13}{6},\dfrac 52\right)$
【解析】
根据题意，有 $A=(-\infty,-4)\cup (2,+\infty)$．设 $f(x)=x^2-2ax+4$，则\[\Delta=4a^2-16\geqslant 0,\]于是 $a\geqslant 2$．因此\[\begin{split}f(-4)&=20+8a>0,\\ f(2)&=8-4a\leqslant 0,\end{split}\]从而 $A\cap B=\{3\}$，进而\[\begin{cases} f(3)\leqslant 0,\\ f(4)>0,\end{cases}\]即\[\begin{cases} 13-6a\leqslant 0,\\ 20-8a>0,\end{cases}\]因此 $a$ 的取值范围是 $\left[\dfrac {13}{6},\dfrac 52\right)$．
题目
答案
解析
备注
