函数 $f(x)=2x-\sqrt {4x-x^2}$ 的值域是 ．
【难度】
【出处】
2010年全国高中数学联赛安徽省预赛
【标注】
【答案】
$\left[4-2\sqrt 5,8\right]$
【解析】
易知 $f(x)$ 的定义域为 $[0,4]$，设 $y=f(x)$，则\[4x-x^2=(2x-y)^2,\]且 $2x-y\geqslant 0$．整理得\[5x^2-(4y+4)x+y^2=0,\]其判别式\[\Delta=4\left(-y^2+8y+4\right)\geqslant 0,\]因此\[4-2\sqrt 5\leqslant y\leqslant 4+2\sqrt 5,\]当 $x=\dfrac{10-4\sqrt 5}{5}$ 时，$y=4-2\sqrt 5$，因此 $y$ 的最小值为 $4-2\sqrt 5$．
另一方面，有\[y\leqslant 2x\leqslant 8,\]等号当 $x=4$ 时取得，因此 $y$ 的最大值是 $8$．
综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[4-2\sqrt 5,8\right]$．
另一方面，有\[y\leqslant 2x\leqslant 8,\]等号当 $x=4$ 时取得，因此 $y$ 的最大值是 $8$．
综上所述，函数 $f(x)$ 的值域为 $\left[4-2\sqrt 5,8\right]$．
题目
答案
解析
备注
