函数 $y=\sqrt{3x+6}+\sqrt{8-x}$ 的值域为 ．
【难度】
【出处】
2016年全国高中数学联赛内蒙古自治区预赛
【标注】
【答案】
$\left[\sqrt{10},2\sqrt{10}\right]$
【解析】
由题意知，该函数的定义域为 $[-2,8]$．求导可知$$y'=f'(x)=\dfrac {\sqrt {24-3x}-\sqrt {x+2}}{2\sqrt {(x+2)(8-x)}},$$当 $-2<x<\dfrac {11}{2}$ 时，$y$ 单调递增；当 $\dfrac {11}{2}<x<8$ 时，$y$ 单调递减，所以 $y=f(x)$ 的最小值在端点处取到，最大值为$$f\left(\dfrac {11}{2}\right)=2\sqrt {10}.$$因为$$f(-2)=\sqrt {10}<f(8)=\sqrt {30},$$所以最小值为 $\sqrt {10}$．因此所求值域为 $\left[\sqrt {10},2\sqrt {10}\right]$．
题目
答案
解析
备注
