由题意知，该函数的定义域为 $[-2,8]$．根据柯西不等式，有$$\begin{split}y&=\sqrt{3x+6}+\sqrt{8-x}\\ &=\sqrt 3\cdot \sqrt {x+2}+1\cdot \sqrt {8-x}\\&\leqslant \sqrt {(3+1)(x+2+8-x)}\\&=2\sqrt {10},\end{split}$$当且仅当 $\dfrac {x+2}{3}=\dfrac {8-x}{1}$，即 $x=\dfrac {11}{2}$ 时，等号成立，于是等号可以取到，故该函数最大值为 $2\sqrt {10}$．
另一方面，有\[\sqrt{3x+6}+\sqrt{8-x}\geqslant \sqrt{(3x+6)+(8-x)}=\sqrt{14+2x}\geqslant \sqrt{10}, \]等号当 $x=-2$ 时取得，故函数最小值为 $\sqrt{10}$．
综上所述，所求函数的值域为 $\left[\sqrt{10},2\sqrt{10}\right]$．