在 ② 中，令 $x=y=0$，可得 $f(0)=0$，令 $y=-x$，有 $f(x)+f(-x)=f(0)=0$，于是函数 $f(x)$ 为奇函数；
由 ①，$f(x)$ 不可能为偶函数（与函数 $f(x)$ 有非零函数值矛盾）；
当 $-1<x<y\leqslant 0$ 时，由于 $\dfrac{x-y}{1-xy}\in (-1,0]$，于是有$$f(x)-f(y)=f(x)+f(-y)=f\left(\dfrac{x-y}{1-xy}\right)>0,$$因此函数 $f(x)$ 在 $(-1,0]$ 上单调递减，又 $f(x)$ 为奇函数，因此 $f(x)$ 在 $(-1,1)$ 上单调递减；
考虑到当 $x,y\to 1$ 时，由 ② 可得" $2f(1)=f(1)$ "，这对有界函数是不可能的．
下面证明函数 $f(x)$ 无界．设 $f(m)=p$，其中 $m\in (0,1)$，令 $h_1(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}$，$h_{n+1}(x)=h(h_n(x))$（$n=1,2,\cdots $），则$$f(h_n(m))=2^n\cdot p,n=1,2,\cdots ,$$因此 $f(x)$ 无界．