函数 $f(x)$ 的定义域为 $[2,3]$，其导函数\[f'(x)=\dfrac{\sqrt{9-3x}-\sqrt{x-2}}{2\sqrt{3-x}\cdot \sqrt{x-2}},\]于是函数 $f(x)$ 在 $\left[2,\dfrac{11}4\right)$ 上单调递增，在 $\left(\dfrac{11}4,3\right]$ 上单调递减，在 $x=\dfrac{11}4$ 时取得极大值，亦为最大值 $f\left(\dfrac{11}4\right)=2$．函数 $f(x)$ 的最小值为\[\min\left\{f(2),f(3)\right\}=\min\left\{1,\sqrt 3\right\}=1,\]因此所求函数的值域为 $[1,2]$．